Question

10．隨機變量X的概率分布列如下表如示，且$P（X=n）=\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{10}，n=1\\ \frac{1}{n（n+1）}，n≥2且n∈z\end{array}\right.$，

X	X1	X2	X3	…	Xn
P	p1	p2	p3	…	pn

（Ⅰ）由分布列的性質試求n的值，并求隨機變量X的分布列與數學期望；
（Ⅱ）一個盒子里裝有標號為1，2，…，n且質地相同的標簽若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X．現有放回的從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標簽的標號不小于3的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出n=4，由此能求出隨機變量X的分布列和期望．
（Ⅱ）隨機抽取一次取得標簽的標號不小于3的概率為$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{2}{15}$，由此能求出恰好2次取得標簽的標號小于3的概率．

解答 （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意知 $\sum_{i=1}^n{P（X=i）=}\frac{7}{10}+\sum_{i=2}^n{\frac{1}{i（i+1）}}=\frac{7}{10}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=1$，
解得n=4，
∴隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{7}{10}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{20}$

EX=$1×\frac{7}{10}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{20}$=$\frac{89}{60}$．
（Ⅱ）隨機抽取一次取得標簽的標號不小于3的概率為$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{2}{15}$…（9分）
所以恰好2次取得標簽的標號小于3的概率為$C_3^2{（{\frac{2}{15}}）^2}（1-\frac{2}{15}）$=$\frac{52}{1125}$…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．