Question

5．重慶一中開展支教活動，有五名教師被隨機的分到49中學、璧山中學、禮嘉中學，且每個中學至少一名教師，
（1）求共有多少種分派方法；（用數字作答）
（2）求璧山中學分到兩名教師的概率；
（3）設隨機變量X為這五名教師分到璧山中學的人數，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）利用分類討論思想和排列組合知識能求出共有多少種分派方法．
（2）設璧山中學分到兩名教師為事件A，利用等可能事件概率計算公式能求出璧山中學分到兩名教師的概率．
（3）由題意知X的可有取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵有五名教師被隨機的分到49中學、璧山中學、禮嘉中學，且每個中學至少一名教師，
∴共有N=$\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}$=150種分派方法．
（2）設璧山中學分到兩名教師為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{3}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{5}$．
（3）由題意知X的可有取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}（{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{3}{A}_{2}^{2}）}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（X=2）=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{2}{A}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{15}$

∴E（X）=$1×\frac{7}{15}+2×\frac{2}{5}+3×\frac{2}{15}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．