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6.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),且圓C′:x2+y2=1過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率;
(2)已知直線l與橢圓C只有1個(gè)交點(diǎn),探究:是否存在兩個(gè)定點(diǎn)P(x1,0)、Q(x2,0),且x1<x2,使得P、Q到直線l的距離之積為1.如果存在,求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)由題意可得b=c=1,a=$\sqrt{2}$,進(jìn)而得到C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率;
(2)分類討論,利用直線l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn),確定k,p的關(guān)系,設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)(s,0),(t,0),使其到直線l的距離之積為1,建立方程,即可求得結(jié)論.

解答 解:(1)由題意,b=c=1,a=$\sqrt{2}$,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1,離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2))①當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程為y=kx+p,
代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.
因?yàn)橹本l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以△=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2-p2)=0,
即1+2k2=p2
設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)(s,0),(t,0),使其到直線l的距離之積為1,
則$\frac{|ks+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{|kt+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$,
而(**)不恒成立.
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),直線方程為x=±$\sqrt{2}$時(shí),
定點(diǎn)(-1,0)、F2(1,0)到直線l的距離之積d1?d2=($\sqrt{2}$-1)($\sqrt{2}$+1)=1.
綜上,存在兩個(gè)定點(diǎn)(1,0),(-1,0),使其到直線l 的距離之積為定值1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查存在性問(wèn)題的研究,考查學(xué)生的計(jì)算能力,同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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