Question

15．定義在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的函數f（x），f'（x）是它的導函數，且恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，則（　　）

• A． $\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）＞f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{4}）＞\sqrt{2}f（\frac{π}{6}）$
• C． $f（\frac{π}{3}）＞\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$
• D． $\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根據條件構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函數的導數，利用導數和單調性之間的關系判斷函數g（x）的單調性即可．

解答 解：定義在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的函數f（x），恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，
即f（x）•sinx+f'（x）cosx＜0，
設g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）cosx-f（x）（cosx）′}{cos^2x}$=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{cos^2x}$＜0，
則函數g（x）在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上單調遞減，
則g（$\frac{π}{3}$）＜g（$\frac{π}{6}$），
即$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{cos\frac{π}{6}}$，
即$\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{6}）$，
故選：D

點評 本題主要考查函數值的大小比較，根據條件構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．