Question

6．已知${（{x^{\frac{2}{3}}}+3{x^2}）^n}$的展開式中，各項系數和與它的二項式系數和的比為32．
（1）求展開式中二項式系數最大的項；
（2）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析 （1）各項系數和為（1+3）ⁿ=4ⁿ，二項式系數和為2ⁿ，則$\frac{{{2^{2n}}}}{2^n}=32$，解得n=5．再利用二項式定理的展開式的通項公式即可得出．
（2）利用通項公式及其有理項的定義即可得出．

解答 解：（1）各項系數和為（1+3）ⁿ=4ⁿ，二項式系數和為2ⁿ，則$\frac{{{2^{2n}}}}{2^n}=32$，解得n=5．
又因為二項式展開式的通項為${T_{k+1}}=C_5^k{（{x^{\frac{2}{3}}}）^{5-k}}{（3{x^2}）^k}$，
則二項式系數最大的項為第三項${T_3}=C_5^2{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，第四項${T_4}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^2}{（3{x^2}）^3}=270{x^{\frac{22}{3}}}$．
（2）${T_{k+1}}={3^k}C_5^k{x^{\frac{10+4k}{3}}}，k=0，1，2，3，4，5$，
所以k=2時${T_3}=C_5^2{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，
k=5時，${T_6}=C_5^5{（{x^{\frac{2}{3}}}）^0}{（3{x^2}）^5}=243{x^{10}}$．

點評 本題考查了二項式定理的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．