Question

1．以下說法正確的是（　　）
①若x，y∈R，則“x=y“是“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“的充要條件．
②命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題
③“x²+2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”?“對于x∈[1，2]，有（x²+2x）_min≥（ax）_max”
④命題“若a=-1，則函數f（x）=ax²+2x-1只有一個零點”的逆命題為真命題．

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①，當“x=y“則“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“成立．當“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“時，則（x-y）²≤0⇒x=y；
②，其逆否命題為：”x=2且y=1，則x+y=3“是真命題，原命題與逆否命題同為真；
③，a=2時，x²+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x²+2x）_min=3＜2x_max=4；
④，因為a=0時，函數也只有一個零點．

解答 解：對于①，當“x=y“則“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“成立．當“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“時，則（x-y）²≤0⇒x=y，故正確；
對于②，命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”的逆否命題為：”x=2且y=1，則x+y=3“是真命題，故原命題為真，故正確；
對于③，x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立不等價于（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立，
例a=2時，x²+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x²+2x）_min=3＜2x_max=4，∴故錯；
對于④，原命題的逆命題為“若函數f（x）=ax²+2x-1只有一個零點，則a=-1“，因為a=0時，函數也只有一個零點，故錯．
故選：A．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數的性質，充分條件和必要條件的判斷以及函數最值的應用，涉及的知識點較多，綜合性較強，屬于中檔題．