Question

9．橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$中，以點M（1，2）為中點的弦所在直線斜率為（　　）

• A． $\frac{9}{16}$
• B． $\frac{9}{32}$
• C． $\frac{9}{64}$
• D． $-\frac{9}{32}$

Answer 1

分析 先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．

解答 解：設弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}=1\\ \frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1\end{array}\right.$，
兩式相減得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$=-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$，
即-$\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
即-$\frac{9×2}{16×4}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
即$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{2}）}$=$-\frac{9}{32}$，
∴弦所在的直線的斜率為$-\frac{9}{32}$，
故選：D

點評 本題主要考查了橢圓的性質以及直線與橢圓的關系．在解決弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化，達到解決問題的目的．