Question

5．已知P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的動點，點M是圓（x+5）²+y²=4上的動點，點N是圓（x-5）²+y²=1上的動點，則|PM|-|PN|的最大值是9．

Answer 1

分析 由已知條件知道雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心和半徑，再利用平面幾何知識把|PM|-|PN|轉化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離即可求|PM|-|PN|的最最大值．

解答 9解：雙曲線雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的兩個焦點分別是F₁（-5，0）與F₂（5，0），
則這兩點正好是兩圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的圓心，半徑分別是r₁=2，r₂=1，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|PM|_max=|PF₁|+2，|PN|_min=|PF₂|-1，
∴|PM|-|PN|的最大值=（|PF₁|+2）-（|PF₂|-1）=6+3=9，
|PM|-|PN|的最大值為9，
故答案為：9

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質和雙曲線與圓的關系，著重考查了學生對雙曲線定義的理解和應用，以及對幾何圖形的認識能力，屬于中檔題．