Question

20．不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y≤-kx+4k}\end{array}\right.$（k＞0）所表示平面區(qū)域的面積為S，則$\frac{{k}^{2}+1}{S}$的最小值等于（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 先畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后用k表示出圖形的面積，進(jìn)而表示出$\frac{{k}^{2}+1}{S}$，最后利用基本不等式求出它的最值即可

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y≤-kx+4k}\end{array}\right.$（k＞0）所表示平面區(qū)域如圖，
A（4，0），B（0，4k），
根據(jù)題意可知三角形OAB為直角三角形，其面積等于
$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=8k，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{S}$=$\frac{{k}^{2}+1}{8k}=\frac{1}{8}（k+\frac{1}{k}）≥\frac{1}{8}×2\sqrt{k•\frac{1}{k}}=\frac{1}{4}$，（k＞0）
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{S}$的最小值為$\frac{1}{4}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用基本不等式等知識(shí)求最值問(wèn)題，是中檔題．