Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$，函數g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．關于函數g（x）的零點，下列判斷不正確的是（　　）

• A． 若t＜-2，g（x）有四個零點
• B． 若t=-2，g（x）有三個零點
• C． 若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，g（x）有兩個零點
• D． 若t=$\frac{1}{4}$，g（x）有一個零點

Answer 1

分析 由已知中函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$的解析式，畫出函數f（x）的圖象，令m=f（x），可得m≥1時，m=f（x）有兩根，m＜1時，m=f（x）有一根，根據二次函數的圖象和性質分析t取不同值時，g（x）=m²+m+t根的個數及分面情況，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

令m=f（x），m≥1時，m=f（x）有兩根，m＜1時，m=f（x）有一根，
若t＜-2，則m²+m+t=0有兩個根，一個大于1，一個小于1
此時，g（x）=0有三個根，故A錯誤；
若t=-2，則由m²+m+t=0得m=-2，m=1，
此時g（x）=0有三個根，
即g（x）有三個零點，故B正確；
若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，則m²+m+t=0有兩個根，但均小于1
此時，g（x）=0有兩個根，故C正確；
若t=$\frac{1}{4}$，則g（x）=f²（x）+f（x）+$\frac{1}{4}$=（m+$\frac{1}{2}$）²=0，
此時m=-$\frac{1}{2}$，由上圖可得，此時函數m=0有一個根，
即g（x）有一個零點，故D正確．
故選A．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數解析式的求解及常用方法，其中畫出函數f（x）的圖象，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．