Question

1．已知函數g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數的底數）與h（x）=2lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍是[1，e²-2]．

Answer 1

分析 由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解，構造函數f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到-a的范圍即可．

解答 解：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．
設f（x）=2lnx-x²，求導得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，f（x）_極大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等價于2-e²≤-a≤-1．
從而a的取值范圍為[1，e²-2]．
故答案為：[1，e²-2]

點評 本題考查了構造函數法求方程的解及參數范圍；關鍵是將已知轉化為方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．