Question

14．已知不等式ax²+x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}．
（1）求a，c的值；
（2）若不等式ax²+2x+4c＞0的解集為A，不等式3ax+cm＜0的解集為B，且A?B，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式和對應方程的關系，利用根與系數的關系即可求出a、c的值；
（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax²+2x+4c＞0，再根據真子集的定義求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵不等式ax²+x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，
∴1、3是方程ax²+x+c=0的兩根，且a＜0，…（1分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{1+3=-\frac{1}{a}}\\{1×3=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$；…（3分）
解得a=-$\frac{1}{4}$，c=-$\frac{3}{4}$；…（5分）
（2）由（1）得a=-$\frac{1}{4}$，c=-$\frac{3}{4}$，
所以不等式ax²+2x+4c＞0化為-$\frac{1}{4}$x²+2x-3＞0，
解得2＜x＜6，
∴A={x|2＜x＜6}，
又3ax+cm＜0，即為x+m＞0，
解得x＞-m，
∴B={x|x＞-m}，…（8分）
∵A?B，
∴{x|2＜x＜6}?{x|x＞-m}，
∴-m≤2，即m≥-2，
∴m的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）

點評 本題考查了一元二次不等式和對應方程的應用問題，也考查了真子集的定義與應用問題，是中檔題目．