Question

已知函數f（x）=log_a（

1

ax

-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）討論函數f（x）的單調性（不需證明）．

Answer 1

考點：對數函數的單調區間,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）需要分類討論，根據指數函數和對數函數即可求出定義域，
（2）根據復合函數的單調性，得到函數f（x）的單調性．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（

1

ax

-1），
∴

1

ax

-1＞0，
即a^x＜1，
當a＞1時，解得x＜0，
當0＜a＜1，解得x＞0，
故函數的定義域為，當a＞1時，為（-∞，0），
當0＜a＜1，為（0，+∞）
（2）設t=

1

ax

-1
當a＞1時，函數t=

1

ax

-1為減函數，y=log_at為增函數，
故函數f（x）為減函數，
當0＜a＜1時，函數t=

1

ax

-1為增函數，y=log_at為減函數，
故函數f（x）為減函數，
綜上所述函數f（x）為減函數．

點評：本題考查了對數函數和指數函數的定義以及性質，以及復合函數的單調性，屬于基礎題