Question

2．已知冪函數f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$在（0，+∞）上單調遞增，函數g（x）=2^x+k，當x∈（1，2]時，記f（x）和g（x）的值域分別為A和B，若B⊆A∩B，則實數k的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 根據冪函數的定義和性質先求出m，結合集合的關系進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是冪函數，
∴（m-1）²=1，
解得m=2或m=0，
若m=2，則f（x）=x⁰，在（0，+∞）上不單調遞減，不滿足條件；
若m=0，則f（x）=x²，在（0，+∞）上單調遞增，滿足條件；
即f（x）=x²；
當x∈（1，2]時，f（x）∈（1，4]，即A=（1，4]，
當x∈（1，2]時，g（x）∈（2+k，4+k]，即B=（2+k，4+k]，
∵B⊆A∩B，∴B⊆A，
則$\left\{\begin{array}{l}{2+k≥1}\\{4+k≤4}\end{array}\right.$，
解得-1≤k≤0，
即實數k的取值范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題主要考查冪函數性質和定義的應用，函數值域的計算以及集合關系的應用，是綜合性題目．