Question

3．函數f（x）與g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x互為反函數，則函數f（4-x²）的單調增區間是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [0，+∞）
• C． （-2，0]
• D． [0，2）

Answer 1

分析 f（x）與g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x互為反函數，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$=-log₂x．（x＞0）．再利用二次函數、對數函數與復合函數的單調性即可得出單調性．

解答 解：∵f（x）與g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x互為反函數，
∴f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$=-log₂x．（x＞0）．
則函數f（4-x²）=-$lo{g}_{2}（4-{x}^{2}）$，由4-x²＞0，解得-2＜x＜2．
∴函數的單調增區間是[0，2）．
故選：D．

點評 本題考查了反函數的求法、二次函數、對數函數與復合函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．