Question

12．設全集U=R．
（1）解關于x的不等式|x-1|+a-1＞0（a∈R）；
（2）記A為（1）中不等式的解集，B為不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3x-5}{x+4}≤1}\\{{x}^{2}-x+1≥0}\end{array}\right.$的整數解集，若（∁_UA）∩B恰有三個元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）解不等式組，求出集合B，通過討論a的范圍，求出∁_∪A，結合題意得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由|x-1|+a-1＞0 得|x-1|＞1-a，
當a＞1時，解集是R；
當a≤1時，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}．
（2）解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3x-5}{x+4}≤1}\\{{x}^{2}-x+1≥0}\end{array}\right.$，得：-4＜x≤$\frac{9}{2}$，
故B={-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，
當a＞1時，C_UA=∅，不滿足條件．
當a≤1時，C_UA={x|a≤x≤2-a}，∴2-a≥1，
若（∁_UA）∩B恰有三個元素，
則$\left\{\begin{array}{l}{2-a-a≥2}\\{2-a-a＜4}\\{a≤1}\end{array}\right.$，解得：-1＜a≤0．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查集合的運算，是一道中檔題．