Question

2．已知f（x）=（$\sqrt{3}$xinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期為4π．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）銳角三角形ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），利用周期公式可求ω，可得函數解析式：f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得f（x）的單調遞增區間．
（2）利用正弦定理化簡已知，整理得cosB=$\frac{1}{2}$，進而解得B=$\frac{π}{3}$，利用已知求得范圍$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{12}$，根據正弦函數的性質可求f（A）的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵f（x）=（$\sqrt{3}$xinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），…（3分）
∵最小正周期為4π，
∴ω=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$，可得：f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），…（4分）
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區間為[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z…（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得2sinAcosB=sinA，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，解得：B=$\frac{π}{3}$，…（8分）
∵銳角三角形ABC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，…（10分）
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{12}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜f（A）＜$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，周期公式，正弦定理，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．