Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x）．設f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若f（α-$\frac{π}{3}$）=2，α∈[$\frac{π}{2}$，π]，則sin（2α-$\frac{π}{6}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 進行數量積的運算，并化簡即可得出f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，這樣根據$f（α-\frac{π}{3}）=2$即可得出cos2α=$-\frac{1}{2}$，而由α的范圍便可得出2α的范圍，從而求出α，這樣便可求出$sin（2α-\frac{π}{6}）$的范圍．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
∴$f（α-\frac{π}{3}）=2sin（2α-\frac{π}{2}）+1$=-2cos2α+1=2；
∴$cos2α=-\frac{1}{2}$；
∵$α∈[\frac{π}{2}，π]$；
∴2α∈[π，2π]；
∴$2α=π+\frac{π}{3}$；
∴$sin（2α-\frac{π}{6}）=sin（π+\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$．
故選C．

點評 考查向量數量積的坐標運算，二倍角的余弦公式，以及兩角和的正弦公式，三角函數的誘導公式．