Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，設(shè)b_n=a_n+1-2a_n．證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 由遞推關(guān)系可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1．變形為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．利用等比數(shù)列的遞推及其通項(xiàng)公式即可證明．

解答 證明：∵S_n+1=4a_n+1，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+1．②
①-②，得a_n+1=4a_n-4a_n-1．
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n=2b_n-1．
∵a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，即a₂=3a₁+1=4．
∴b₁=a₂-2a₁=2，
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．