Question

15．已知中心在原點的橢圓C的兩個焦點和橢圓C₁：2x²+3y²=72的兩個焦點是一個正方形的四個頂點，且橢圓C過點A（${\sqrt{3}$，-2）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知P是橢圓C上的任意一點，Q（0，t），求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知曲線的焦點在x軸可知所求橢圓的焦點在y軸上，再由橢圓過點C，由橢圓定義可求出2a，即可求其方程；（2）建立|PQ|與變量y的關系問題即可轉化為二次函數的問題，討論二次函數的單調性可得．

解答 解：（1）由已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{24}=1$，
相應的焦點分別為$（{-2\sqrt{3}，0}）（{2\sqrt{3}，0}）$，
則橢圓C的焦點分別為${F_1}（{0，-2\sqrt{3}}）{F_2}（{0，2\sqrt{3}}）$，
設橢圓C的方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
∵$2a=|{A{F_1}}|+|{A{F_2}}|=\sqrt{{{（{\sqrt{3}-0}）}^2}+{{（{-2+2\sqrt{3}}）}^2}}+\sqrt{{{（{\sqrt{3}-0}）}^2}+{{（{-2-2\sqrt{3}}）}^2}}=4-\sqrt{3}+4+\sqrt{3}=8$，
∴a=4，∴b²=16-12=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$；
（2）設P（x，y），則$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$（-4≤y≤4），∴${x}^{2}=4-\frac{1}{4}{y}^{2}$，
$|PQ{|}^{2}={x}^{2}+（y-t）^{2}=\frac{3}{4}{y}^{2}-2ty+{t}^{2}+4$，
令$f（y）=\frac{3}{4}{y}^{2}-2ty+{t}^{2}+4，（-4≤y≤4）$，
∵$f（y）=\frac{3}{4}（y-\frac{4}{3}t）^{2}+4-\frac{1}{3}{t}^{2}$
∴當t≤-3時，函數f（y）在[-4，4]上為增函數，∴f（y）≥f（-4）=t²+8t+16；
當-3＜t＜3時，$f（y）≥f（{\frac{4}{3}t}）=4-\frac{1}{3}{t^2}$；
當t≥3時，函數在[-4，4]上為減函數，∴f（y）≥f（4）=t²-8t+16．
綜上所述：t≤-3時，|PQ|_min=|t+4|；-3＜t＜3時，${|{PQ}|_{min}}=\sqrt{4-\frac{1}{3}{t^2}}$；t≥3時，|PQ|_min=|t-4|．

點評 本題考查橢圓的定義及簡單的綜合問題．第一問易解；第二問解題關鍵首先能正確建立|PQ|與y的函數關系，轉化為二次函數問題，然后通過討論求解．考查了轉化和分類討論的思想方法．屬于中等難度題．