Question

8．（1）解不等式：|x-1|+|x|＜4；
（2）已知a＞2，求證：?x∈R，|ax-2|+a|x-2|＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區間上的x的范圍，取并集即可；（2）根據絕對值的性質證明即可．

解答 解：（1）①當x≤0時，不等式為1-x-x＜4，即x＞-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜x≤0是不等式的解，
②當0＜x≤1時，不等式為1-x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解．
③當x＞1時，不等式為x-1+x＜4，即x＜$\frac{5}{2}$，∴1＜x＜$\frac{5}{2}$是不等式的解．
綜上所述，不等式的解集為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
（2）證明：∵a＞2，|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|＞2，
∴?x∈R，|ax-2|+a|x-2|＞2恒成立．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．