Question

20．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓C上的點到右焦點的最大距離為3．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率存在的直線l與橢圓C交于A，B兩點，并且滿足|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，求直線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距為c．依題意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a+c=3，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）設直線l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，把根與系數的關系代入化簡與△＞0聯立解出即可得出．

解答 解：（1）設橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距為c．
依題意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由橢圓C上的點到右焦點的最大距離3，得a+c=3，解得c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+m，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡得3+4k²＞m²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，化為km（x₁+x₂）+（1+k²）x₁•x₂+m²=0，
∴km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+（1+k²）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化簡得7m²=12+12k²．
將k²=$\frac{7}{12}{m}^{2}$-1代入3+4k²＞m²．
可得m²$＞\frac{3}{4}$，又由7m²=12+12k²≥12．
從而∴m²$≥\frac{12}{7}$，解得m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，或m≤-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，．
所以實數m的取值范圍是$（-∞，-\frac{2\sqrt{21}}{7}]$∪$[\frac{2\sqrt{21}}{7}，+∞）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、不等式的解法、向量數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．