Question

19．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在（0，π）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． [-1，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先求出函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：a＜-2x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1），令g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在區(qū)間（0，π）上是增函數(shù)，
∴y′=cos2x-asinx＞0，
∴1-2sinx²-asinx＞0，
即-2x²-ax+1＞0，x∈（0，1），
∴a＜-2x+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，
則g′（x）=-2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，1）遞減，
∴a＜g（1）=-1，
即：a∈（-∞，-1）．
故選：A．

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，參數(shù)的取值范圍的確定，三角函數(shù)中的恒等變換應用，主要考查學生的應用能力．