Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=$\frac{3}{5}$，則C的離心率e=$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對稱性與定義可得：BF′=AF=6，BF=2a-6．在△ABF中，由余弦定理可得：cos∠FAB=$\frac{3}{5}$=$\frac{{6}^{2}+1{0}^{2}-（2a-6）^{2}}{2×6×10}$，解得a，在△OAF中，由余弦定理可得：c．

解答 解：如圖所示，
設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對稱性與定義可得：BF′=AF=6，BF=2a-6．
在△ABF中，由余弦定理可得：
cos∠FAB=$\frac{3}{5}$=$\frac{{6}^{2}+1{0}^{2}-（2a-6）^{2}}{2×6×10}$，
解得a=7，
在△OAF中，由余弦定理可得：c²=6²+5²-2×6×5×$\frac{3}{5}$=25，解得c=5．
∴e=$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．