Question

4．已知函數f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，求證：
（1）函數f（x）是奇函數； 
（2）函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數$\frac{1}{2x}$的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x）恒成立，故函數f（x）是奇函數； 
（2）求導，根據x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，可得函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．

解答 證明：（1）∵函數f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，
且f（-x）=-（-x）-$\frac{1}{2x}$=-（-x+$\frac{1}{2x}$）=-f（x），
故函數f（x）是奇函數； 
（2）∵函數f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
當x∈（0，+∞）時，
f′（x）＜0恒成立，
故函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，利用導數研究函數的單調性，難度中檔．