Question

【題目】已知定義域為R的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=ax2+bx+8（0＜a＜4），點A（2，0）在函數f（x）的圖象上，且關于x的方程f（x）+1=0有兩個相等的實根．

（1）求函數f（x）解析式；

（2）若x∈[t，t+2]（t＞0）時，函數f（x）有最小值1，求實數t的值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=（2）

【解析】

（1）定義域為R的奇函數f（x），則f（0）＝0，在結合f（﹣x）＝﹣f（x）可得x＜0的解析式；

（2）根據x∈[t，t+2]（t＞0）時，可得f（x）＝x2﹣6x+8，根據對稱軸討論最小值即可求解t的值.

（1）定義域為R的奇函數f（x），則f（0）＝0，

當x＞0時，f（x）＝ax2+bx+8（0＜a＜4），點A（2，0）在函數f（x）的圖象上，

∴4a+2b+8＝0，即b＝﹣2a﹣4……①．

關于x的方程f（x）+1＝0有兩個相等的實根．

即ax2+bx+9＝0有兩個相等的實根．

那么b2﹣36a＝0……②

由①②解得：a＝1或a＝4（舍去）；b＝﹣6．

則當x＞0時，f（x）＝x2﹣6x+8；

當x＜0時，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+6x+8＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x2－6x﹣8

∴函數f（x）解析式f（x）；

（2）由x∈[t，t+2]（t＞0）時，可得f（x）＝x2﹣6x+8，

其對稱軸x＝3；

當0＜t＜1時，可得f（x）在區間x∈[t，t+2]上單調遞減，

可得f（x）min＝f（t+2）＝（t+2）2﹣6（t+2）+8＝1

解得：t＝1±（舍去），

當1≤t≤3時，可得f（x）在區間x∈[t，t+2]上不單調，可得f（x）min＝f（3）≠1；

當t＞3時，可得f（x）在區間x∈[t，t+2]上單調遞增，

可得f（x）min＝f（t）＝t2﹣6t+8＝1；

解得：t

∴滿足題意的t

函數f（x）有最小值1，實數t的值為．