Question

【題目】選修4﹣1：幾何證明選講
如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且AB是的⊙O直徑，過點(diǎn)D的⊙O的切線與BA的延長線交于點(diǎn)M．

（1）若MD=6，MB=12，求AB的長；
（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)镸D為⊙O的切線，由切割線定理知，

MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，

所以MA=3，AB=12﹣3=9．

（2）解：因?yàn)锳M=AD，所以∠AMD=∠ADM，連接DB，又MD為⊙O的切線，

由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，

又因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ADB為直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，

于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．

又四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以∠BAD+∠DCB=180°，

所以∠DCB=120°

【解析】（1）利用MD為⊙O的切線，由切割線定理以及已知條件，求出AB即可．（2）推出∠AMD=∠ADM，連接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通過AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，對角和180°，求出∠DCB即可．