Question

2．生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需要另投入成本為C（x），當年產量不足80千件時，C（x）=$\frac{1}{360}{x^3}$+20x（萬元），當年產量不小于80千件時，C（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450（萬元），通過市場分析，每件商品售價為0.05萬元時，該商品能全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式（利潤=銷售額-成本）；
（2）年產量為多少千件時，生產該商品獲得的利潤最大．

Answer 1

分析 （1）因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，推出當0≤x＜80時，當x≥80時，的函數的解析式即可．
（2）當0≤x＜80時，利用函數的導數求解函數的最值，當x≥80時，利用基本不等式求解函數的最值，推出結果．

解答 解：（1）因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
依題意得，當0≤x＜80時，$L（x）=（{0.05×1000x}）-\frac{1}{360}{x^3}-20x-250$=$-\frac{1}{360}{x^3}+30x-250$，
當x≥80時，$L（x）=（{0.05×1000x}）-51x-\frac{10000}{x}+1450-250$=$1200-（{x+\frac{10000}{x}}）$．
$\begin{array}{l}即L（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{360}{x^3}+30x-2500≤x＜80\\ 1200-（{x+\frac{10000}{x}}）x≥80.\end{array}\right.\end{array}$…（8分）
（2）當0≤x＜80時，$L（x）=-\frac{1}{360}{x^3}+30x-250$．
${L^′}（x）=-\frac{1}{120}{x^2}+30=0$，x=±60．
此時，當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950（萬元）…（12分）
當x≥80時，$L（x）=1200-（{x+\frac{10000}{x}}）≤1200-2\sqrt{x•\frac{10000}{x}}=1000$，…（14分）
當且僅當$x=\frac{10000}{x}$，即x=100時，L（x）取得最大值1000（萬元）．
因為950＜1000，所以當年產量為100千件時，生產該商品獲利潤最大．
答：當年產量為100 千件時，生產該商品獲利潤最大．…（16分）

點評 本題考查實際問題的應用，分段函數以及函數的最值的求法，函數的導數的應用，考查轉化思想以及計算能力．