Question

7．在銳角△ABC中，sinA=sinBsinC，則tanB+2tanC的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據sinA=sinBsinC，得出sin（B+C）=sinBsinC，從而求出tanC、tanB的關系，代入tanB+2tanC中，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：銳角△ABC中，sinA=sinBsinC，
∴sin（B+C）=sinBsinC，
即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，
∴cosBsinC=sinB（sinC-cosC），
∴sinC=$\frac{sinB}{cosB}$（sinC-cosC），
兩邊都除以cosC，得tanC=tanB（tanC-1），
∴tanB=$\frac{tanC}{tanC-1}$；
又tanB＞0，∴tanC-1＞0，
∴tanB+2tanC=$\frac{tanC}{tanC-1}$+2tanC
=$\frac{tanC-1+1}{tanC-1}$+2tanC
=1+$\frac{1}{tanC-1}$+2（tanC-1）+2≥3+2$\sqrt{\frac{1}{tanC-1}•2（tanC-1）}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{1}{tanC-1}$=2（tanC-1），即tanC=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”；
∴tanB+2tanC的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角恒等式的變化技巧和函數單調性知識，考查了轉化思想，有一定靈活性，是中檔題．