Question

20．已知函數f（x）=（x²-1）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=3對稱，則函數f（x）的值域為[-36，+∞）．

Answer 1

分析 根據函數的對稱性，求出a，b值，得到函數的解析式，結合導數法求出最小值，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）=（x²-1）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=3對稱，
∴f（6-x）=f（x），
即[（6-x）²-1][（6-x）²+a（6-x）+b]=（x²-1）（x²+ax+b）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-12\\ b=35\end{array}\right.$，
故f（x）=（x²-1）（x²-12x+35），
則令f′（x）=4（x-3）（x²-6x-1）=0，
解得：x=3或x=3±$\sqrt{10}$．
當x＜3-$\sqrt{10}$，或3＜x＜3+$\sqrt{10}$時，f′（x）＜0函數為減函數．
當3-$\sqrt{10}$x＜3，或x＞3+$\sqrt{10}$時，f′（x）＞0函數為增函數．
∵f（3±$\sqrt{10}$）=-36．
函數f（x）的值域為[-36，+∞）
故答案為：[-36，+∞）．

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，利用導數求函數的最值，難度中檔．