Question

12．在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為菱形，側面ABE為等邊三角形，且側面ABE⊥底面BCDE，O，F分別為BE，DE的中點．
（I）求證：AO⊥CD；
（II）求證：平面AOF⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （I）由等邊三角形知識得AO⊥BE，利用面面垂直的性質得出AO⊥平面BCDE，故而AO⊥CD；
（II）連結BD，由菱形性質得出CE⊥BD，又AO⊥平面BCDE，故AO⊥CE，由中位線性質得BD∥EF，故而CE⊥平面AOF，所以平面AOF⊥平面ACE．

解答 證明：（Ⅰ）因為△ABE 為等邊三角形，O 為BE 的中點，
所以AO⊥BE．又因為平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AO?平面ABE，
所以AO⊥平面BCDE．又因為CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD．
（Ⅱ）連結BD，因為四邊形BCDE 為菱形，
所以CE⊥BD．
因為O，F 分別為BE，DE 的中點，
所以OF∥BD，所以CE⊥OF．
由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．
因為CE?平面BCDE，所以AO⊥CE．
因為AO∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．
又因為CE?平面ACE，
所以平面AOF⊥平面ACE．

點評 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．