Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²-$\frac{2}{a}$x+2+b滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x），且f（x）的值域?yàn)閇1，+∞）
（1）求a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，開(kāi)口朝上，最小值為1，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解得a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，則$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，解各實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x），
故函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
即$\frac{2}{2{a}^{2}}$=1，
又∵f（x）的值域?yàn)閇1，+∞），
故a＞0且$\frac{4a（2+b）-\frac{4}{{a}^{2}}}{4a}$=1，
解得：a=1，b=0；
（2）由（1）得f（x）=x²-2x+2，
∴g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2，
函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{m+2}{2}$對(duì)稱，
若g（x）在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，
則$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，
解得：m∈（-∞，2]∪[6，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．