Question

17．已知f（x+1）=$\frac{{{x^2}+2x}}{x+1}$（x≠-1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式，并判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求證：f（$\frac{1}{x}$）=f（-x）；
（Ⅲ）求證：f（x）在（0，+∞）為單調增函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用換元法直接求函數f（x）的解析式，利用函數奇偶性的定義判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）代入函數的解析式即可證明f（$\frac{1}{x}$）=f（-x）；
（Ⅲ）利用函數的單調性的定義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）設x+1=t，則$f（t）=\frac{{{t^2}-1}}{t}$，所以$f（x）=x-\frac{1}{x}$，$f（-x）=-x+\frac{1}{x}=-f（x）$，
所以f（x）為奇函數．
（Ⅱ）證明：$f（\frac{1}{x}）=\frac{1}{x}-x=-f（x）$，所以：f（$\frac{1}{x}$）=f（-x）；
（Ⅲ）證明：設x₁＞x₂＞0，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-\frac{1}{x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_2}$=${x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}═{x_1}-{x_2}+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$
所以f（x）在（0，+∞）為單調增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性以及函數的單調性的應用，考查計算能力．