Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，其中a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1（n≥2）；等差數列{b_n}，其中b₃=2，b₅=6．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在數列{b_n}中是否存在一項b_m（m為正整數），使得b₃，b₅，b_m成等比數列，若存在求m的值；若不存在，請說明理由．
（3）若c_n=（b_n+3）a_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接由已知可知數列{a_n}是以a₁=

1

2

為首項，以2為公比的等比數列，由等比數列的通項公式得答案；
（2）由已知求出等差數列的公差，代入等差數列的通項公式求得b_n，假設b₃，b₅，b_m成等比數列，由等比數列的性質列式求得m的值；
（3）把{a_n}的通項公式和{b_n}的通項公式代入c_n=（b_n+3）a_n，由錯位相減法求得數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由已知可得，數列{a_n}是以a₁=

1

2

為首項，以2為公比的等比數列，
∴an=a1qn-1=

1

2

•2n-1=2n-2；
（2）在等差數列{b_n}中，由b₃=2，b₅=6，得d=

b5-b3

5-3

=

6-2

2

=2，
∴b_n=b₂+（n-2）d=2+2（n-2）=2n-2，
若存在一項b_m，使得b₃，b₅，b_m成等比數列，則b52=b3•bm，
即8²=4（2m-2），解得m=9；
（3）由c_n=（b_n+3）a_n，得cn=(2n+1)2n-2，
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=3•2^-1+5•2⁰+…+（2n-1）•2^n-3+（2n+1）•2^n-2，
2Tn=3•20+5•21+…+(2n-1)•2n-2+（2n+1）•2^n-1．
∴-Tn=

3

2

+21+22+…+2n-1-(2n+1)•2n-1=

3

2

+

2(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n-1
=

3

2

+2n-2-(2n+1)•2n-1．
∴Tn=(n-

1

2

)•2n+

1

2

．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求數列的和，是中檔題．