Question

已知過拋物線x²=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點．
（1）設拋物線在A、B處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程．
（2）若直線l與橢圓

3y2

4

+

3x2

2

=1的交點為C，D，問是否存在這樣的直線l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設A(2t1，

t

2 1

)，B(2t2，

t

2 2

)，kAB=

t 2 1 - t 2 2

2t1-2t2

=

t1+t2

2

，直線AB：y-

t

2 1

=

t1+t2

2

(x-2t1)，從而得到過A，B，M的圓是以AB為直徑的圓，由此結合已知條件能求出圓的方程．
（2）設

|AF|

|BF|

=

|DF|

|CF|

=λ，則

AF

=λ

FB

，

DF

=λ

FC

，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出滿足條件的直線方程．

解答： 解：（1）設A(2t1，

t

2 1

)，B(2t2，

t

2 2

)，kAB=

t 2 1 - t 2 2

2t1-2t2

=

t1+t2

2

故AB：y-

t

2 1

=

t1+t2

2

(x-2t1)
過（0，1）得-t1t2=1，又由y=

1

4

x2，得y′=

1

2

x
故kMA•kMB=

1

2

×(2t1)×

1

2

×(2t2)=t1t2=-1
∴過A，B，M的圓是以AB為直徑的圓
又MA：y-

t

2 1

=t1(x-2t1)，MB：y-

t

2 2

=t2(x-2t2)
即

t

2 1

-t1x+y=0，且

t

2 2

-t2x+y=0
聯立兩式解得x_M=t₁+t₂=2，y_M=t₁t₂=-1
故AB的中點G坐標為（2，3），|GM|=4
所求圓的方程為（x-2）²+（y-3）²=16．…（6分）
（2）設

|AF|

|BF|

=

|DF|

|CF|

=λ，則

AF

=λ

FB

，

DF

=λ

FC

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則

-x1=λx2 -x4=λx3

⇒

x1=-λx2 x4=-λx3

又

y=kx+1 x2=4y

⇒x2-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
將x1=-λx2，代入得

(λ-1)2

λ

=4k2，…①
由

y=kx+1 3y2 4 + 3x2 2 =1

=(3k2+6)x2+6kx-1=0∴x3+x4=-

2k

k2+2

，x3x4=-

1

3k2+6

將x4=-λx3，代入得

(λ-1)2

λ

=

12k2

k2+2

，
由①②得k=0或k²=1，k=±1，
經檢驗k=±1時，A、B、C、D四點各異，且滿足要求
故直線l存在，且方程為y=±x+1．…（13分）

點評：本題考查三角形外接圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要注意函數與方程思想的合理運用，