Question

在銳角△ABC中，∠B與∠C的對邊分別為b、c，且A=2B．
（1）求∠B的取值范圍；
（2）求

c

b

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）由銳角三角形的定義，解不等式即可得到B的范圍；
（2）運用正弦定理和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡整理，再由余弦函數的單調性即可得到范圍．

解答： 解：（1）由A=2B，可得，C=π-A-B=π-3B，
銳角△ABC中，0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，
解得，

π

6

＜B＜

π

4

，
則∠B的取值范圍是（

π

6

，

π

4

）；
（2）由正弦定理，可得，

c

b

=

sinC

sinB

=

sin3B

sinB

=

sin(2B+B)

sinB

=

sin2BcosB+cos2BsinB

sinB

=2cos²B+cos2B=4cos²B-1，
由于

π

6

＜B＜

π

4

，則

2

2

＜cosB＜

3

2

，
即有1＜4cos²B-1＜2．
則

c

b

的取值范圍是（1，2）．

點評：本題考查正弦定理的運用，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運用，考查化簡運算能力，屬于中檔題和易錯題．