Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知向量$\overrightarrow m=（{2cos\frac{A}{2}，sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{cos\frac{A}{2}，-2sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$．
（1）求cosA的值；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積以及二倍角公式化簡求解即可．
（2）利用已知條件表示三角形的周長，通過兩角和的三角函數化簡求解即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（{2cos\frac{A}{2}，sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{cos\frac{A}{2}，-2sin\frac{A}{2}}）$，由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$，可得2cos²$\frac{A}{2}$-2sin²$\frac{A}{2}$，即$cosA=-\frac{1}{2}$------------（5分）
（2）因為$cosA=-\frac{1}{2}$且A∈（0，π），所以$A=\frac{2π}{3}$，所以$C=\frac{π}{3}-B$
△ABC周長$a+b+c=2\sqrt{3}+b+c=2\sqrt{3}+4sinB+4sinC=4sin（B+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}$
因為$B∈（0，\frac{π}{3}）$，所以$B=\frac{π}{6}$時，△ABC周長有最大值，最大值為$4+2\sqrt{3}$---------（12分）

點評 本題考查向量的數量積以及兩角和與差的三角函數的化簡求值，考查計算能力．