Question

12．設函數f（x）=|x+1|+x-m的最小值是-3．
（1）求m的值；
（2）若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，是否存在正實數a，b滿足$（a+1）（b+1）=\frac{7}{2}$？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡函數為分段函數，利用函數的單調性求解函數的最小值，然后求解m即可．
（2）利用$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，轉化推出ab的范圍，化簡$（a+1）（b+1）=\frac{7}{2}$，推出ab的范圍，即可得到結果．

解答 解：（1）因為$f（x）=|{x+1}|+x-m=\left\{\begin{array}{l}2x+1-m，x≥-1\\-1-m，x＜-1\end{array}\right.$，x≥-1時，函數是增函數，
所以y_min=-1-m=-3⇒m=2．
（2）∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，∴$a+b=2ab≥2\sqrt{ab}⇒ab≥1$，
∵$（a+1）（b+1）=a+b+ab+1=3ab+1=\frac{7}{2}$，
∴$ab=\frac{5}{6}＜1$，矛盾．
所以不存在正實數a，b滿足條件．

點評 本題考查分段函數的應用，函數的最值以及基本不等式的應用，考查計算能力．