Question

3．某漁業公司為了解投資收益情況，調查了旗下的養魚場和遠洋捕撈隊近10個月的利潤情況．根據所收集的數據得知，近10個月總投資養魚場一千萬元，獲得的月利潤頻數分布表如下：

月利潤（單位：千萬元）	-0.2	-0.1	0	0.1	0.3
頻數	2	1	2	4	1

近10個月總投資遠洋捕撈隊一千萬元，獲得的月利潤頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）根據上述數據，分別計算近10個月養魚場與遠洋捕撈隊的月平均利潤；
（Ⅱ）公司計劃用不超過6千萬元的資金投資于養魚場和遠洋捕撈隊，假設投資養魚
場的資金為x（x≥0）千萬元，投資遠洋捕撈隊的資金為y（y≥0）千萬元，且投資養魚場的資金不少于投資遠洋捕撈隊的資金的2倍．試用調查數據，給出公司分配投資金額的建議，使得公司投資這兩個項目的月平均利潤之和最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出近10個月養魚場的月平均利潤和近10個月遠洋捕撈隊的月平均利潤．
（Ⅱ）依題意求出x，y滿足的條件，設兩個項目的利潤之和為z，則z=0.02x+0.16y，由此利用線性規劃能求出公司投資養魚場4千萬元，遠洋捕撈隊2千萬元時，兩個項目的月平均利潤之和最大．

解答 解：（Ⅰ）近10個月養魚場的月平均利潤為：
$\frac{-0.2×2-0.1×1+0×2+0.1×4+0.3×1}{10}=0.02$（千萬元）．…..（3分）
近10個月遠洋捕撈隊的月平均利潤為：
-0.3×0.2×0.5-0.2×0.1×1+0.1×0.2×1+0.3×0.2×1.5+0.5×0.2×1=0.16（千萬元）．（6分）
（Ⅱ）依題意得x，y滿足的條件為$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+y≤6\\ x≥2y\end{array}\right.$，…..（8分）
設兩個項目的利潤之和為z，則z=0.02x+0.16y，…．…．（9分）
如圖所示，作直線l₀：0.02x+0.16y=0，平移直線l₀知其過點A時，z取最大值，（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x=2y\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，所以A的坐標為（4，2），…..（11分）
此時z的最大值為z=0.08+0.32=0.4（千萬元），
所以公司投資養魚場4千萬元，遠洋捕撈隊2千萬元時，兩個項目的月平均利潤之和最大．…..（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查線性規劃的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運用．