Question

12．已知F₁（-3，0），F₂（3，0）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的兩個焦點，點P在橢圓上，∠F₁PF₂=α．當α=$\frac{2π}{3}$時，△F₁PF₂面積最大，則m+n的值是（　　）

• A． 41
• B． 15
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂=α．當α=$\frac{2π}{3}$時，△F₁PF₂面積最大，可得此時點P為橢圓的一個短軸的端點，∠F₁PO=$\frac{π}{3}$．可得
$b=\frac{1}{2}$a，又c=3，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．

解答 解：∵∠F₁PF₂=α．當α=$\frac{2π}{3}$時，△F₁PF₂面積最大，
∴此時點P為橢圓的一個短軸的端點，∴∠F₁PO=$\frac{π}{3}$．
∴$b=\frac{1}{2}$a，又c=3，a²=b²+c²，
聯立解得b²=3，a²=12．
∴m+n=a²+b²=15．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、三角形面積計算公式、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．