Question

20．設a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（Ⅰ）求集合D（用區間表示）；
（Ⅱ）求函數f（x）=x²-（1+a）x+a在D內的零點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對于方程2x²-3（1+a）x+6a=0，判別式△=3（a-3）（3a-1）因為a＜1，所以a-3＜0，分類討論求出B，即可求集合D（用區間表示）；
（Ⅱ）f（x）=（x-1）（x-a），a＜1，分類討論求函數f（x）=x²-（1+a）x+a在D內的零點．

解答 解：（Ⅰ）對于方程2x²-3（1+a）x+6a=0
判別式△=3（a-3）（3a-1）
因為a＜1，所以a-3＜0
①當1$＞a＞\frac{1}{3}$時，△＜0，此時B=R，所以D=A；
②當a=$\frac{1}{3}$時，△=0，此時B={x|x≠1}，所以D=（0，1）∪（1，+∞）；
當a＜$\frac{1}{3}$時，△＞0，設方程2x²-3（1+a）x+6a=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則
③當0$＜a＜\frac{1}{3}$時，x₁+x₂=$\frac{3}{2}$（1+a）＞0，x₁x₂=3a＞0，所以x₁＞0，x₂＞0
此時，D=（0，x₁）∪（x₂，+∞）；
④當a≤0時，x₁x₂=3a≤0，所以x₁≤0，x₂＞0．
此時，D=（x₂，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=（x-1）（x-a），a＜1，
①當1$＞a＞\frac{1}{3}$時，函數f（x）的零點為1與a；
②當a=$\frac{1}{3}$時，函數f（x）的零點為$\frac{1}{3}$；
③當0$＜a＜\frac{1}{3}$時，因為2×1²-3（1+a）+6a＜0，2×a²-3（1+a）a+6a＞0，所以函數f（x）零點為a；
④a≤0，因為2×1²-3（1+a）+6a＜0，2×a²-3（1+a）a+6a＜0，所以函數f（x）無零點．

點評 本題考查集合的運算，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．