Question

12．已知函數f（x）=x-xlnx，數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，e為自然對數的底數．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求證：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）推導出x＞0，f′（x）=1-lnx-1=-lnx，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區間．
（2）由數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，結合f（x）的單調性利用數學歸納法能證明：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}＜1$．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x-xlnx，
∴x＞0，f′（x）=1-lnx-1=-lnx，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）．
證明：（2）∵數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
∴①$n=1，{a_2}=\frac{2}{e}$，滿足$\frac{1}{e}≤{a_1}＜{a_2}＜1$．
②假設n=k（k≥1），$\frac{1}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$成立，
則n=k+1時，
由（1）知，f（x）在（0，1）上為增函數，
∴當$x∈[\frac{1}{e}，1）$時，$f（x）∈[\frac{2}{e}，1）$
∴$f（\frac{1}{e}）≤f（{a_k}）＜f（{a_{k+1}}）＜f（1）$$⇒\frac{2}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$$⇒\frac{1}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$
由①②知：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}＜1$．

點評 本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質和數學歸納法的合理運用．