Question

11．已知$\overrightarrow m$=（cosx+$\sqrt{3}sinx$，1），$\overrightarrow n$=（2cosx，a）（x，a∈R，a為常數）
（1）求$y=\overrightarrow m•\overrightarrow n$關于x的函數關系式y=f（x）；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$上，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數量積公式及三角函數的恒等變換求得函數關系式y=f（x）；
（2）根據正弦函數圖象的性質來求單調增區間；
（3）結合正弦函數的值域來求a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$=（cosx+$\sqrt{3}sinx$，1），$\overrightarrow n$=（2cosx，a）（x，a∈R，a為常數），$y=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴y=f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+a=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a+1
=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1；
（2）當2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z時，函數y=f（x）單調遞增；
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴y_最大值=3+a=4，
則a=1．

點評 本題考查正弦函數圖象，平面向量數量積的運算以及三角函數中的恒等變換應用，考查轉化與運算能力，屬于中檔題．