Question

7．已知數列{a_n}滿足a₁=8，a_n+1-a_n=n（n∈N^*），則$\frac{a_n}{n}$取最小值時n=4．

Answer 1

分析 利用“累加求和方法”可得a_n，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a₁=8，a_n+1-a_n=n（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+8
=$\frac{n（n-1）}{2}$+8，
則$\frac{a_n}{n}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{8}{n}$=$\frac{n}{2}$+$\frac{8}{n}$-$\frac{1}{2}$$≥2\sqrt{\frac{n}{2}×\frac{8}{n}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，當且僅當n=4時取等號．
∴$\frac{a_n}{n}$取最小值時n=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了數列遞推關系、“累加求和方法”、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．