Question

1．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，判斷此三角形的形狀．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，結合范圍0°＜A＜180°，進而可求A的值．
（2）利用三角形面積公式可求bc=4，進而利用余弦定理可求b+c=4，即可解得b=c=2=a，即可得解．

解答 解：（1）∵$sinAcosC-\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$
$⇒sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin（A+C）+sinC$
$⇒\sqrt{3}sinAsinC-cosAsinC=sinC$．
∵sinC＞0，
∴$\sqrt{3}sinA-cosA=1⇒sin（A-{30°}）=\frac{1}{2}$．
∵0°＜A＜180°，
∴-30°＜A-30°＜150°，
∴A-30°=30°，可得：A=60°．
（2）$S=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}?bc=4$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
⇒4=（b+c）²-12，
⇒b+c=4，
⇒b=c=2．
∵A=60°，
∴B=C=60°．
故△ABC是正三角形．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，熟練應用相關公式是解題的關鍵，屬于基礎題．