Question

6．已知定義在（0，+∞）上的函數f（x）為增函數，且滿足 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）解關于x的不等式f（x）＜2+f（x-3）．

Answer 1

分析 （1）賦值法直接求f（1）\f（4）；
（2）f（x）＜2+f（x-3）=f（4）+f（x-3）=f（4x-12）⇒$\left\{\begin{array}{l}x＜4x-12\\ x＞0\\ x-3＞0\end{array}\right.⇒x＞4$．

解答 （1）解：$\begin{array}{l}f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2）$，∴$f（1）=0----（2分）\\ f（4）=f（2）+f（2）=2----（2分）\end{array}$
     f（2×2）=f（2）+f（2）=4；
（2）f（x）＜2+f（x-3）=f（4）+f（x-3）=f（4x-12）
而函數f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數；
所以$\left\{\begin{array}{l}x＜4x-12\\ x＞0\\ x-3＞0\end{array}\right.⇒x＞4$
不等式解集為 {x|x＞4}．

點評 本題考查了抽象函數的賦值法、單調性及函數不等式，要注意定義域，屬于基礎題．