Question

12．.已知定義域為R的函數f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$是奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性．（直接寫出答案，不用證明）；
（3）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為R上的奇函數，由f（0）=0即可求得a的值；
（2）分離出常數-1，即可判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性（直接寫出答案，不用證明）；
（3）利用奇函數f（x）在R上單調遞減的性質，可將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立轉化為3t²-2t-k＞0恒成立，利用△=4+12k＜0，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）為R上的奇函數
所以f（0）=0即$\frac{a-1}{2}$=0，
∴a=1  …（3分）
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，在（-∞，+∞）上單調遞減…（6分）
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0?f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
又f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上單調遞減，
∴t²-2t＞-2t²+k，
即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，
∴k＜-$\frac{1}{3}$．…（12分）（利用分離參數也可）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查函數單調性、奇偶性的綜合運用，考查等價轉化思想，屬于中檔題．