Question

2．△ABC的三個頂點坐標是A（0，1），B（2，1），C（3，4）；
（1）△ABC的外接圓方程；
（2）若線段MN的端點N的坐標為（6，2），端點M在△ABC的外接圓的圓上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出△ABC的外接圓方程；
（2）定義代入法求線段MN的中點P的軌跡方程．

解答 解：（1）設△ABC的外接圓方程為 （x-a）²+（y-b）²=r²，
把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圓的方程得，
$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{（{b-1}）^2}={r^2}\\{（{a-2}）^2}+{（{b-1}）^2}={r^2}\\{（{a-3}）^2}+{（{b-4}）^2}={r^2}\end{array}\right.$解此方程組，得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\\{r^2}=5\end{array}\right.$，
∴△ABC的外接圓方程是（x-1）²+（y-3）²=5．
（2）設點P（x，y），點M（x₀，y₀），
∵點P是MN的中點，∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_0}+6}}{2}\\ y=\frac{{{y_0}+2}}{2}\end{array}\right.$，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x-6\\{y_0}=2y-2\end{array}\right.$，
∵點M在（x-1）²+（y-3）²=5的圓上運動，∴${（{{x_0}-1}）^2}+{（{{y_0}-3}）^2}=5$，
即∴（2x-6-1）²+（2y-2-3）²=5，整理得${（{x-\frac{7}{2}}）^2}+{（{y-\frac{5}{2}}）^2}=\frac{5}{4}$，
所以，點P的軌跡是以$（{\frac{7}{2}，\frac{5}{2}}）$為圓心，半徑長是$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的圓．

點評 本題考查軌跡方程，考查待定系數法、代入法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．