Question

14．已知函數y=$\frac{1}{4}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$sin2x，x∈R．
（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析 （1）化簡函數的解析式，當s$in（2x+\frac{π}{6}）=1$，y有最大值，求解即可；
（2）把函數y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$，把函數$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），將函數$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（橫坐標不變），即可．

解答 解：$y=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$…（2分）
（1）當$in（2x+\frac{π}{6}）=1$，即$x=kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$時，y有最大值．…（5分）
集合為$\left\{{x\left|{x=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z}\right.}\right\}$…（6分）
（2）第一步：把函數y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$，得到函數$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象；
第二步：把函數$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），得到函數$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象；
第三步：將函數$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（橫坐標不變），得到函數$y=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象．…（12分）

點評 本題考查三角函數化簡求值，函數的最值以及三角函數變換，考查計算能力．