Question

2．用長為36m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

分析 設長方體的寬為xcm，則長為2xcm，高為（$\frac{36-4x-8x}{4}$）cm；它的體積為V=2x•x•（9-3x）=18x²-6x³；對V求導，并令V′（x）=0，得x=1時，函數V有最大值，求出此時長，寬，高即可．

解答 解：設長方體的寬為xcm，則長為2xcm，高為$\frac{36-4x-8x}{4}$=9-3x（cm）；
它的體積為V=2x•x•（9-3x）=18x²-6x³，（其中0＜x＜2）；
對V求導，并令V′（x）=0，得36x-18x²=0，解得x=0，或x=2；
當0＜x＜2時，函數V（x）單調遞增，當 x≥2時，函數V（x）單調遞減；
所以，當x=2時，函數V（x）有最大值24（cm³），此時長為4cm，寬為2cm，高為3cm．

點評 本題考查了長方體模型的應用，本題中利用長方體的體積公式建立三次函數解析式，再利用求導法求得函數的最值，是中檔題．